Gauss dan Cara Menghitung Cepat Deret Aritmatika Ganjil

Pada suatu mula, salah satu Matematikawan berpengaruh yang pernah ada dan diakui sebagai Matematika terbesar di Eropa pada era tersebut, Sang Pangeran Matematika, yakni lain tak lain adalah Carl Freidrich Gauss yang hidup dari tahun 1777 - 1855 dengan mewarisi darah dari Jerman.

Sejak kecil sudah dikenal sebagai anak jenius. Ia bahkan pernah membantu Ayahnya, saat menerima upah mingguan hasil dari kerja lembur sebagai tukang batu. Sang bocah ajaib menyeletuk, ada kesalahan dalam perhitungan pembagian upah. Dan saat dicek ulang ternyata Gauss muda lah yang benar. Beruntung Gauss punya paman, Friedrich yang menyadari akan potensi emas keponakannya. Gauss muda diajari logika, serta observasi tentang objek-objek tertentu. 

Carl Freidrich Gauss

Waktu berjalan hingga pada umur 7 tahun yakni awal momentum bagi kesuksesan Gauss. Saat itu Gauss sudah masuk sekolah dasar. Suatu ketika gurunya (yang menurut saya sadis juga) menyuruh Gauss dan temannya untuk menghitung angka sebanyak 100 biji dimulai dari 81297 + 91495 +.....+ 100899. Dan angka tersebut memiliki perbedaan / selisih 198. Saat Gauss dan kawannya sudah selesai, sang guru baru menjelaskan berapa hasilnya. Hasil tersebut berbeda dengan jawaban Gauss. Langsung saja Gauss maju dan meletakkan batu tulis di atas meja gurunya dan berkata, "Itu salah." Masih tak mau mengalah, Gauss muda tetap duduk di dalam kelas saat yang lainnya sudah keluar kelas. Melihat itu Buttner akhirnya menguji ulang perhitungannya. Saat sekolah sudah menunjukkan jam pulang Buttner harus mengakui bahwa dengan perhitungan terakhir, Gauss-lah yang benar. Hal ini membuat Buttner membelikan buku terbaik tentang aritmatika dengan gaji-nya dan menyatakan, ia tak sanggup lagi mengajar Gauss dan menyerahkannya pada Johann Martin Bartels, yang selanjutnya menjadi sahabat Gauss dalam perkutatan akan matematika......(bersambung)

Tadi adalah suatu slice of life dari Carl Freidrich Gauss yang sangat berjasa dalam dunia matematika khususnya yang terkenal adalah Gaussian Curve yang masih dipakai sampai sekarang.

Dalam kisah hidupnya tadi yang paling menarik dari saya adalah teknik perhitungan yang sekarang dikenal sebagai Deret Aritmatika. Padahal sudah jelas dahulu belum ada rumus mandraguna yang turun dari langit (wesss lebay), yakni rumus :

dengan n = banyaknya angka ; a = angka awal (suku ke-1); dan b = beda / selisih.

Bahkan beliaulah sebagai kontributor dari rumus tersebut (AFAIK). Jadi bagaimana bisa Gauss muda dapat melakukan perhitungan tersebut.. Poin yang utama adalah pola dari perhitungan tersebut. Jika kita menemukan pola / ciri khas dari barisan angka tersebut, pastinya kita dapat menghitung dengan cepat dan yakin akan kebenarannya. Pola perhitungan unik dan sifat-sifat angka inilah yang nantinya membimbing Gauss untuk menulis Teori Bilangan.

Seperti layaknya Gauss mari kita pecahkan suatu Teka-teki yang menarik berikut ini:

Pada suatu hari Gauss menghadiri kuliah di MIT di Department of Mathematic tentunya (anggap aja ada Gauss di masa ini.. yah namanya juga cerita rekaan). Untuk mencairkan suasana Dosen bertanya pada mahasiswanya, "Berapakah jumlah dari deret bilangan ganjil dari bilangan ke-1 sampai ke-55 ?" Lantas dalam hitungan detik Gauss dengan lantang menjawab "3025". "Yak bagus !!" jawab sang Dosen. Kemudian sang Dosen yang isengnya kurang kerjaan bertanya kembali "Bagaimana dengan jumlah dari deret bilangan ganjil dari bilangan ke-1 sampai ke-104 ?". "Saya pak!! Jawabannya 10816!!" Kata Gauss lagi. Heran sangat heran sang Dosen dibuat heran. Dosen pun menyuruh Gauss ke depan untuk menjelaskannya kepada para mahasiswa (yang kebetulan juga kesal karena belum selesai ngitung dia udah jawab duluan).

So jika kalian menjadi Gauss bagaimana kalian menjelaskan perhitungan tersebut..?

Kuncinya : Bilangan tersebut memakai pola...

(kalau sudah jawab silahkan cocokan jawaban anda dibawah ini... klik spoiler)

Spoiler :

Dalam penghitungan deret bilangan ganjil dari suku ke-1(1) sampai suku ke- n berlaku pola / rumus

Tidak percaya coba kita buktikan:
Deret bilangan ganjil sampai suku ke-4 :


Jika memakai maka menjadi :
;
Lihat hasilnya sama bukan ?? Pantas saja Gauss dapat menghitung cepat... hehehehe..

Jawaban pertanyaan Dosen:
Deret bilangan ganjil dari suku ke-1 sampai ke-55 :
Deret bilangan ganjil dari suku ke-1 sampai ke-104:


Pembahasan Pembuktian Deret Aritmatika  Ganjil